基于凸集上投影POCS的聚类算法

基于凸集上投影+POCS的聚类算法

基于凸集上投影和POCS的聚类算法主要用于处理高维空间的聚类问题。凸集上投影是一种解决优化问题的数学方法，例如最小二乘问题，它可以将问题转化为一个凸集上的最小化问题。POCS也是一种数学方法，可以通过反复投影和收缩来解决优化问题。在这种算法中，我们首先将数据点投影到一个凸集上，例如一个球体或一个多面体，然后使用POCS算法不断更新聚类。这种算法具有良好的收敛性和稳定性，尤其适用于高维数据。

凸集上的投影

假设我们有一个n维向量x和一个k维向量y，凸集上的投影将找到一个最优的x’，它是在凸集上的，并且与y的距离最小。投影可以通过解决以下优化问题得到：

import numpy as np

def convex_set_projection(x, y):
    """
    Convex set projection onto the space defined by y
    solve the problem:
        x' = argmin || x - z ||^2
               z
        s.t. z in conv(y)

    INPUT:
    x: the vector to be projected
    y: matrix, each column of y is a vector in the convex set
    OUTPUT:
    x': the projection

    """
    m = y.shape[1]
    alpha = np.ones((m, 1))/m
    max_iter = 100
    epsilon = 1e-7

    for iteration in range(max_iter):
        x_old = x
        z = y @ alpha
        x = z - (z-x) @ (z-y).T @ np.linalg.inv((z-y) @ (z-y).T) @ (z-y)
        if np.linalg.norm(x-x_old) < epsilon:
            break

    return x

这个函数接受两个向量，x是待投影的向量，y是凸集中的向量集合，返回x的投影。

POCS算法

POCS（Projections onto Convex Sets）算法是一种基于投影的迭代优化算法。给定一组凸集，我们的目标是找到一个属于这些凸集的交集的点。POCS算法通过逐步投影到这些凸集中的每一个来实现。我们使用一个循环来迭代优化，直到符合停止条件。POCS可以有效地处理约束条件较强的问题。

def POCS_clustering(X, y, n_clusters, max_iter=100):
    """
    POCS clustering algorithm based on convex set projection
    Algorithm:
    1. Initialize the centroids as the projection of randomly selected data points
    2. Repeat until convergence or max_iter:
        2.1 Project all data points onto the convex hull of centroids
        2.2 Update the centroids as the projection of the mean of all data points in their
            respective clusters
    INPUT:
    X: data matrix, each row is a data point
    y: matrix, each column of y is a vector in the convex set
    n_clusters: number of clusters
    max_iter: number of maximum iterations (optional parameter)
    OUTPUT:
    centroids: a matrix of size (n_clusters, n_features)
    labels: a vector of size (n_samples,) containing the cluster index for each data point
    """
    #initialize the centroids
    centroids = np.zeros((n_clusters, X.shape[1]))
    rnd_indices = np.random.permutation(X.shape[0])[:n_clusters]
    for idx, centroid in enumerate(centroids):
        centroids[idx] = convex_set_projection(X[rnd_indices[idx]], y)

    #initialize other variables
    labels = np.zeros(X.shape[0], dtype=int)
    iteration = 0

    while True:
        #assign all data points to the closest centroid
        for i in range(X.shape[0]):
            distances = np.linalg.norm(X[i] - centroids, axis=1)
            labels[i] = np.argmin(distances)

        #update the centroids
        for j in range(n_clusters):
            cluster_points = X[labels == j, :]
            mean_of_cluster_points = np.mean(cluster_points, axis=0)
            shifted_mean = convex_set_projection(mean_of_cluster_points, y)
            centroids[j] = shifted_mean

        iteration += 1
        if iteration >= max_iter:
            break

    return centroids, labels

这个函数接受三个参数：X是数据矩阵，每行是一个数据点，y是凸集中的向量集合，n_clusters是聚类的数量。它返回聚类的质心和每个数据点的标签。

总结

凸集上投影+POCS的聚类算法是一种处理高维数据聚类问题的有效方法。该算法利用凸集上的投影和POCS算法不断更新聚类，具有良好的收敛性和稳定性。该算法的实现涉及到凸集上的投影和POCS算法，代码示例中给出了这两种方法的实现。使用该算法进行聚类需要提供数据矩阵，凸集中的向量集合和聚类的数量。